Ce travail se situe dans le cadre de l'étude des extrémales d'un Lagrangien
non-holonome défini sur un sous fibré du fibré tangent à une variété. Nous donnons d'abord des conditions suffisantes d'optimalité locale. Dans le cadre du formalisme géométrique sur les quasi-algébroïdes ([#!PoPo!#], [#!CLMM!#]), à un tel Lagrangien régulier est associée une connexion canonique. Dans notre contexte, ce formalisme possède une version assez naturelle. Nous montrons que la connexion canonique de
est l'unique connexion lagrangienne métrique associée à
dans ce formalisme. Enfin, nous construisons une connexion lagrangienne "naturelle" dont les géodésiques sont les extrémales de
.